# Dragon Notes

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# Fourier Transform Pairs

 Eq $$x(t)$$ $$\ds\bn{X}(\omega)=\mathcal{F} [x(t)]=\s{}\pnint\ns{}x(t)e^{-j\omega t}dt$$ $$[1 ]$$ $$\ds \delta(t)$$ ⬌ $$\ds 1$$ $$[2 ]$$ $$\ds \delta(t-t_0)$$ ⬌ $$\ds e^{-j\omega t_0}$$ $$[3 ]$$ $$\ds \sfrac{1}{2}\delta(\abs{t}-t_0)$$ ⬌ $$\ds \Cos{\omega t_0}$$ $$[4 ]$$ $$\ds 1$$ ⬌ $$\ds 2\pi\ \delta(\omega)$$ $$[5 ]$$ $$\ds u(t)$$ ⬌ $$\ds \pi\delta({\omega})+1/j\omega$$ $$[6 ]$$ $$\ds \t{sgn}(t)$$ ⬌ $$\ds 2/j\omega$$ $$[7 ]$$ $$\ds \t{rect}(t/\tau)$$ ⬌ $$\ds \tau\ \t{sinc}(\omega\tau/2)$$ $$[8 ]$$ $$\ds \frac{e^{-t^2/(2\sigma^2)}}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$$ ⬌ $$\ds e^{-\omega^2\sigma^2/2}$$ $$[9 ]$$ $$\ds e^{-at}\ u(t)$$ ⬌ $$\ds \frac{1}{a+j\omega}$$ $$[10]$$ $$\ds e^{at}\ u(-t)$$ ⬌ $$\ds \frac{1}{a-j\omega}$$ $$[11]$$ $$\ds \Cos{\omega_0 t}$$ ⬌ $$\ds \pi\ [\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$$ $$[12]$$ $$\ds \Sin{\omega_0 t}$$ ⬌ $$\ds j\pi\ [\delta(\omega+\omega_0)-\delta(\omega-\omega_0)]$$ $$[13]$$ $$\ds e^{j\omega_0 t}$$ ⬌ $$\ds 2\pi\ \delta(\omega-\omega_0)$$ $$[14]$$ $$\ds te^{-at}\ u(t)$$ ⬌ $$\ds \frac{1}{(a+j\omega)^2}$$ $$[15]$$ $$\ds e^{-at}\Sin{\omega_0 t}\ u(t)$$ ⬌ $$\ds \frac{\omega_0}{(a+j\omega)^2+\omega_0^2}$$ $$[16]$$ $$\ds \Sin{\omega_0 t}\ u(t)$$ ⬌ $$\ds \frac{\pi}{2j}[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]+\frac{\omega_0^2}{\omega_0^2-\omega^2}$$ $$[17]$$ $$\ds e^{-at}\Cos{\omega_0t}\ u(t)$$ ⬌ $$\ds \frac{a+j\omega}{(a+j\omega)^2+\omega_0^2}$$ $$[18]$$ $$\ds \Cos{\omega_0 t}\ u(t)$$ ⬌ $$\ds \frac{\pi}{2}[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]+\frac{j\omega}{\omega_0^2-\omega^2}$$